Отец Безушкова игрока родом из Новосибирска, а мама из Казахстана, поэтому полузащитник имеет право на российское гражданство. Однако сейчас у него паспорт Германии.
Безушков - воспитанник «Штуттгарта». 24-летний полузащитник выступает за «Ян Регенсбург» с 2019 года. Ранее выступал за «Айнтрахт», «Хольштайн Киль» и «Юнион». В нынешнем сезоне Макс Безушков провёл 16 матчей и забил шесть голов.
Безушков провел 10 матчей за молодёжную сборную Германии, за которую забил три гола.
Действующий контракт футболиста с клубом «Ян Регенсбург» рассчитан до июня 2022 года. Портал Transfermarkt оценивает стоимость футболиста в € 1,5 млн.